2.2 数制与数制的转换

数制就是数的进位制。在日常生活中，人们经常会接触到0、7、8、9、168、295等这样的数字，它们就是一种数制——十进制数。另外，数制还有二进制数和十六进制数等。

2.2.1 十进制数

十进制数有以下两个特点。

① 有10个不同的数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。任意一个十进制数均可以由这10个数码组成。

② 遵循“逢十进一”的计数原则。对于任意一个十进制数N，它都可以表示成

N=an−1×10n−1+an−2×10n−2+…+a1×101+a0×100+a−1×10−1+…+a−m×10−m

其中m和n为正整数。

这里的an−1,an−2……a−m称为数码，10称作基数，10n−1,10n−2……10−m是各位数码的“位权”。

例如，根据上面的方法可以将十进制数3259.46表示成3259.46 = 3×103+2×102+5×101+9×100+4×10−1+6×10−2。

请试着按上面的方法写出8436.051的展开式。

2.2.2 二进制数

十进制是最常见的数制，除此以外，还有二进制数、八进制数、十六进制数等。在数字电路中，二进制数用得最多。

1.二进制数的特点

二进制数有以下两个特点。

① 有两个数码：0和1。任何一个二进制数都可以由这两个数码组成。

② 遵循“逢二进一”的计数原则。对于任意一个二进制数N，它都可以表示成

N=an−1×2n−1+an−2×2n−2+…+a 0×20+a−1×2−1+…+a−m×2−m

其中m和n为正整数。

这里的 an−1,an−2……a−m称为数码，2称作基数，2n−1,2n−2……2−m是各位数码的“位权”。

例如，二进制数11011.01可表示为(11011.01)2= 1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+0×2−1+1×2−2。

请试着按上面的方法写出(1011.101)2的展开式。

2.二进制数的四则运算

（1）加法运算

加法运算法则是“逢二进一”。举例如下：

0+0=0　0+1=1　1+0=1　1+1=10

当遇到“1+1”时就向相邻高位进1。

例如，求(1011)2+(1011)2，可以用与十进制数相同的竖式计算：

即(1011)2+(1011)2=(10110)2。

（2）减法运算

减法运算法则是“借一当二”。举例如下：

0−0=0　1−0=1　1−1=0　10−1=1

当遇到“0−1”时，需向高位借1当“2”用。

例如，求(1100)2− (111)2

即(1100)2− (111)2= (101)2。

（3）乘法运算

乘法运算法则是“各数相乘，再作加法运算”。举例如下：

0×0=0　1×0=0　0×1=0　1×1=1

例如，求(1101)2×(101)2

即(1101)2×(101)2= (1000001)2。

（4）除法运算

除法运算法则是“各数相除，再作减法运算”。举例如下：

0÷1=0　1÷1=1

例如，求(1111)2÷(101)2

即(1111)2÷(101)2= (11)2。

2.2.3 十六进制数

十六进制数有以下两个特点。

① 有16个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，这里的A、B、C、D、E、F分别代表10、11、12、13、14、15。

② 遵循“逢十六进一”的计数原则。对于任意一个十六进制数N，它都可以表示成

N=an−1×16n−1+an−2×16n−2+…+a0×160+a−1×16−1+…+a−m×16−m

其中m和n为正整数。

这里的an−1,an−2……a−m称为数码，16称作基数，16n−1,16n−2……16−m是各位数码的“位权”。

例如，十六进制数可表示为(3A6.D)16= 3×162+10×161+6×160+13×16−1。

请试着按上面的方法写出(B65F.6)16的展开式。

2.2.4 二进制数与十进制数的转换

1.二进制数转换成十进制数

二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数各位数码与位权相乘后求和，就能得到十进制数。

例如，(101.1)2= 1×22+0×21+1×20+1×2−1= 4+0+1+0.5 = (5.5)10

2.十进制数转换成二进制数

十进制数转换成二进制数的方法是：采用除2取余法，即将十进制数依次除2，并依次记下余数，一直除到商数为0，最后把全部余数按相反次序排列，就能得到二进制数。

例如，将十进制数(29)10转换成二进制数，方法为

即(29)10= (11101)2。

2.2.5 二进制数与十六进制数的转换

1.二进制数转换成十六进制数

二进制数转换成十六进制数的方法是：从小数点起向左、右按4位分组，不足4位的，整数部分可在最高位的左边加“0”补齐，小数点部分不足4位的，可在最低位右边加“0”补齐，每组以其对应的十六进制数代替，将各个十六进制数依次写出即可。

例如，将二进制数(1011000110.111101)2转换为十六进制数，方法为

注意：十六进制的16位数码为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，它们分别与二进制数0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110、0111、1000、1001、1010、1011、1100、1101、1110、1111相对应。

2.十六进制数转换成二进制数

十六进制数转换成二进制数的过程与上述方法相反。其过程是：从左到右将待转换的十六进制数中的每个数依次用4位二进制数表示。

例如，将十六进制数(13AB.6D)16转换成二进制数，方法为

2.2.6 单片机的数的表示及运算

单片机的数是以二进制表示的，分为有符号数和无符号数两种。

1.有符号数的表示方法

有符号数是指有“+（正）”、“−（负）”符号的数。由于单片机采用二进制数，所以只有1和0两种数字，其中用“0”表示“+”，用“1”表示“−”。单片机中的数据一般只有8位，一般规定最高位为符号位，因为要用1位表示数的符号，所以只有7位用来表示数值，可以表示−127～+128。

有符号数的表示方法有3种：原码、反码和补码。同一个有符号数，用3种表示方法得到的数是不同的。下面用3种方法来表示两个有符号数+1011101和−1011101。

（1）原码

用“1”表示“−”，用“0”表示“+”，其他各数保持不变，采用这种方法表示出来的数称为原码。

+1011101用原码表示是01011101，可写成[01011101]原

−1011101用原码表示是11011101，可写成[11011101]原

（2）反码

反码是在原码的基础上求得的。对于正的有符号数，其反码与原码相同；对于负的有符号数，其反码除符号位与原码相同外，其他各位数由原码各位数取反得到。

+1011101用反码表示是01011101，可写成[01011101]反

−1011101用反码表示是10100010，可写成[10100010]反

（3）补码

补码是在反码的基础上求得的。对于正的有符号数，其补码与反码、原码相同；对于负的有符号数，其补码除符号位与反码一致外，其他数由反码加1得到。

+1011101用补码表示是01011101，可写成[01011101]补

−1011101用补码表示是10100011，可写成[10100011]补

2.有符号数的运算

用原码表示有符号数简单、直观，但在单片机中，如果采用原码进行减法运算，需要很复杂的硬件电路；如果用补码，可以将减法运算变为加法运算，从而省去减法器而简化硬件电路。

例：用二进制减法运算和补码加法运算分别计算35−21。

① 二进制减法运算：35−21=00100011−00010101=00001110

② 用补码加法运算：

先将算式转换成补码形式，35−21=[+35]+[−21]= [00100011]原+[10010101]原=[00100011]反+[11101010]反=[00100011]补+[11101011]补。

再对补码进行二进制加法运算：

从上面的运算过程可以看出，补码的符号也参与运算，在8位单片机中，由于数据长度只能有8位，上式结果有9位，第9位会自然丢失，补码加法的运算结果与二进制减法的运算结果是一样的，都是00001110=14。

由此可见，用补码的形式进行运算，可以将减法运算转换为加法运算，运算结果仍是正确的，所以单片机普遍采用补码的形式表示有符号数。

3.无符号数的表示方法

无符号数因为不用符号位，8位全部用来表示数据，所以这种方法可以表示的数据范围是0～255。8位二进制数的不同表示方式的换算关系见表2-6。

从表2-6中可以看出，对于同一个二进制数，当采用不同的表示方式时，得到的数值是不同的，特别是大于10000000的有符号数。若想确切知道单片机中的二进制数所对应的十进制数是多少，先要了解该二进制数是有符号数还是无符号数，再换算出该二进制数对应的十进制数。