第1章　复杂系统与复杂网络

1.1　复杂系统与复杂网络简介

1.1.1　复杂系统

系统^[1，2]在自然界和人类社会中是普遍存在的，如太阳系是一个系统，人体是一个系统，一个家庭是一个系统，等等。系统的种类很多，可以依据不同的原则对系统进行分类。根据系统的本质属性，从系统内子系统的关联关系角度可划分为简单系统和复杂系统。简单系统指组成系统的子系统或简单个体数量较少，因而它们之间的关系也比较简单，或尽管子系统数目多或巨大，但之间关联关系比较简单，也称为简单系统。另一类系统统称为复杂系统，它们最主要的特征是系统具有众多的子系统和状态变量，关联及反馈结构复杂，输入与输出呈现非线性特征。

复杂系统试图解释在不存在中央控制的情况下，大量简单个体如何自行组织成能够产生模式、处理信息甚至能够进化和学习的整体。这是一个交叉学科研究领域。“复杂”一词源自拉丁词根plectere，意为编织、缠绕。在复杂系统中，大量简单成分相互缠绕纠结，而复杂性研究本身也是由许多研究领域交织而成。复杂系统专家认为，自然界中的各种复杂系统，比如昆虫群落、免疫系统、大脑和经济，这些系统在细节上很不一样，但如果从抽象层面上来看，则会发现它们有很多有趣的共性。

（1）局部信息，没有中央控制

在复杂系统中，个体一般都遵循相对简单的规则，不存在中央控制或领导者。每个主体只可以从个体集合的一个相对较小的集合中获取信息，处理“局部信息”，做出相应的决策。系统的整体行为是通过个体之间的相互竞争、协作等局部相互作用而涌现出来的。最新研究表明，在一个蚂蚁王国中，每一只蚂蚁并不是根据“国王”的命令来统一行动，而是根据同伴的行为以及环境调整自身行为，从而实现一个有机的群体行为。

（2）信号和信息处理

所有这些系统都利用来自内部和外部环境中的信息和信号，同时也产生信息和信号。

（3）智能性和自适应性

所有这些系统都通过环境和接收信息来调整自身的状态和行为进行适应，即改变自身的行为以增加生存或成功的机会。系统在整体上显现出更高层次、更加复杂、更加协调职能的有序性。

另外，复杂系统还具有突现性、不稳性、非线性、不确定性、不可预测性等特征。

现在我们可以对复杂系统加以定义^[3]:复杂系统是由大量可能相互作用的组成成分构成的网络，不存在中央控制，通过简单运作规则产生复杂的集体行为和复杂的信息处理，并通过学习和进化产生适应性。如果系统有组织的行为不存在内部和外部的控制者或领导者，则也称之为自组织。由于简单规则以难以预测的方式产生复杂行为，这种系统的宏观行为有时也称为涌现。这样就有了复杂系统的另一个定义:具有涌现和自组织行为的系统。复杂性科学的核心问题是:涌现和自组织行为是如何产生的?

复杂系统理论是系统科学中的一个前沿方向，它是复杂性科学的主要研究任务。复杂性科学被称为21世纪的科学，它的主要目的就是要揭示复杂系统的一些难以用现有科学方法解释的动力学行为。与传统的还原论方法不同，复杂系统理论强调用整体论和还原论相结合的方法去分析系统。目前，复杂系统理论还处于萌芽阶段，它可能蕴育着一场新的系统学乃至整个传统科学方法的革命。生命系统、社会系统都是复杂系统，复杂系统理论在系统生物学、生物系统、社会与经济系统、计算机及通信系统、智能制造及智能交通等系统中具有重要的应用前景。

1.1.2　复杂网络

网络是一组项目的集合，将这些项目称为节点，它们之间的连接，称为边。如果节点按照确定的规则连线，所得到的网络就称为规则网络。如果网络按照某种（自）组织原则方式连接，将演化成各种不同的网络，称为复杂网络。近年来，复杂网络引起了许多相关领域研究人员的关注。复杂网络是具有复杂拓扑结构和动力学行为的大规模网络，复杂网络的节点可以是任意具有特定动力学和信息内涵的系统的基本单位，而边则表示这些基本单位之间的关系或联系。例如，Internet网、WWW网络^[4，5]、社会关系网络^[6～11]、无线通信网络、食物链网络^[12]、科研合作网^[13～16]、流行病传播网络等都是复杂网络，如图1-1所示。生活中存在着大量的复杂网络，这促使人们去研究这些复杂网络的行为。

钱学森先生给出了复杂网络的一个较严格的定义:具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络称为复杂网络。从目前的研究来看，复杂网络主要包含两层含义:一，它是大量真实系统的拓扑抽象;二，它介于规则网络和随机网络之间，比较难以实现，目前还没有生成能够完全符合统计特征的复杂网络。

复杂网络，简而言之，即呈现高度复杂性的网络。汪小帆教授、李翔教授、陈关荣教授在《网络科学导论》^[17]一书中指出，复杂网络的复杂性主要表现在以下几个方面。

① 结构复杂性。表现在网络节点数目巨大。由于节点连接的产生与消失，网络结构不断发生变化。例如WWW，网页或链接随时可能出现或断开，节点之间的连接具有多样性。例如节点之间的连接权重存在差异，且有可能存在方向性。从而，网络结构呈现多种不同特征。

② 节点多样性。复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人际关系构成的复杂网络节点代表单独个体，万维网组成的复杂网络节点可以表示不同网页。而且，在同一个网络中可能存在多种不同类型的节点。例如，控制哺乳动物细胞分裂的生化网络就包含各种各样的基质和酶。

③ 动力学复杂性。节点集可能属于复杂非线性行为的动力系统。例如节点状态随时间发生复杂变化。

④ 多重复杂性融合。即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以预料的结果。例如，设计一个电力供应网络需要考虑此网络的进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。当两个节点之间频繁进行能量传输时，它们之间的连接权重会随之增加，通过不断的学习与记忆逐步改善网络性能。

图1-2为复杂网络示例。

目前，复杂网络研究的内容主要包括:网络的几何性质、网络的形成机制、网络演化的统计规律、网络上的模型性质以及网络的结构稳定性、网络的演化动力学机制等问题。其中在自然科学领域，网络研究的基本测度包括:度及其分布特征、度的相关性、集聚程度及其分布特征、最短距离及其分布特征、介数及其分布特征，连通集团的规模分布等。

网络化是今后许多研究领域发展的一个主流方向，因此对复杂网络的研究具有重大的科学意义和应用价值。

定义1-1　如果一个网络中的任意两个节点之间都有边直接相连，那么就称这个网络为全局耦合网络（如图1-3所示）。如果一个网络中，每一个节点只和它周围的邻居节点相连，那么就称该网络为最近邻耦合网络。

在具有N个节点的所有网络中，全局耦合网络具有最多的边数N（N-1）/2。最近邻耦合网络是最普通的规则网络，属于该类的常见网络有三种:一维链、二维网格和一般最近邻耦合网络，如图1-4所示。三者的相同之处在于每个节点只与靠近自己的节点相连，而与远离自己的节点不相连;不同之处在于每个节点的邻点数不同。而对于拥有N个节点的最近邻耦合网络，网络中的每个节点至少有两个邻点，最多有k个邻点，k必须为偶数且不大于N。