第二节普通工件结构要素计算_机械工人常用计算手册-QQ阅读女频幻言网

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第二节普通工件结构要素计算

一、正多边形计算

具有正多边形的工件很多，如六角螺钉、螺母、方形滑块等。如果一个正多边形有n条边，这个正多边形称做正n边形。

1，正方形对角线和边长互算

正方形的四条边都相等，它的四个角都呈直角，并且，两条对角线也相等，每条对角线平分一组对角。

在直角三角形ABC（图2-21）中，因为AB=BC，所以∠CAB=∠ACB=45°，则，这时：

a=Dsin45°=0，707D （2-23）

D=a/sin45°=1，414S （2-24）

式中 a——边长（mm）；

D——对角线长（外接圆直径）（mm）。

【例】图2-22所示工件的上端是正方形，边长为15mm，问需用多大的圆钢才能加工成15mm×15mm的正方形？

图2-21 正方形

图2-22 方头螺钉

【解】这是求对角线长度，用式（2-24）进行计算：

D=1，414a=1，414×15mm=21，21mm

2，正多边形各部尺寸互算

图2-23中，边长为a，外接圆直径D，内切圆直径d，d等于对边尺寸a₀，

边长a所对的圆心角为，半边所对

圆心角为。在直角三角形ABO中：，则得a

和d（S₀）互算公式：

图2-23 正多边形

又因则得a和D互算公式：

又因，则得d（a₀）和D互算公式：

式中 n——正多边形边数；

a——边长（mm）；

a₀——对边尺寸（mm）；

D——外接圆直径（mm）；

d——内切圆直径（mm）。

对于正六角形，由于半边所对圆心角，查三角函数代入式（2-25）～式（2-30）后得互算公式（图2-24）如下：

a和d（a₀）互算公式：

a=0，57735d=0，57735a₀ （2-31）

D（a₀）=1，732a （2-32）

a和D互算公式：

a=0，5D （2-33）

D=2a （2-34）

d（a₀）和D互算公式：

d（a₀）=0，866D （2-35）

D=1，155d=1，155a₀ （2-36）

【例】要加工一个正八角柱，边长S=10mm，问最小要用直径多大的圆料？

【解】这是求外接圆直径D，用式（2-28）进行计算：

【例】图2-25的螺栓，头部圆柱形的直径是20mm，问加工成六角后，最大的对边尺寸a₀（内切圆直径）是多大？

【解】用式（2-35）进行计算：

d（a₀）=0，866D=0，866×20mm=17，32mm

【例】 M12六角螺母的对边尺寸a₀，按标准是22mm，问需用多大的圆料才能加工出来？

图2-24 正六边形

图2-25 六角螺栓

【解】该题是求外接圆直径D，用式（2-36）进行计算：

D=1，155d=1，155×22mm=25，41mm

实际工作中，计算正多边形还可以利用表2-6中的简便公式。

正多边形工件加工图样中，有时只说明外接圆直径D和对边尺寸a₀，在确定和计算加工量e和尺寸a₁（图2-23）时，用下面公式：

e=（D-a₀）/2 （2-37）

a₁=a₀+e （2-38）

为了工作方便，现将正四边形、正六边形、正八边形和正十边形各部尺寸列于表2-7中，供选用。

表2-6 计算正多边形简便公式和常数表

（续）

表2-7 正多边形各部尺寸（单位：mm）

（续）

3，正多边形内角和及内角角度α计算

从n边形的一个顶点向各顶点联对角线，可得出（n-2）个三角形。图2-26所示是五边形，则联成5-2=3个三角形。因为一个三角形的内角（边角）和是180°，所以n边形的内角和为：（n-2）×180°。如果是正n边形，各个内角都相等，于是得每个内角α是：

式中 α——正多边形内角角度数（°）；

n——正多边形边数或角数。

图2-26 正多边形内角计算

【例】用角度规检验一个正五边形形状是否正确，问每个角的正确角度应该是多少？

【解】用式（2-39）进行计算：

正多边形内角（边角）角度和中心角角度见表2-8。

4，正多边形（正n边形）面积计算

图2-27所示为正六边形工件，外接圆半径为R，这时，作半径OA和OB，OG⊥AB，。

图2-27 计算正六边形的面积

因

则 a₆=2Rsin30° （2-40）

S₆=6a₆=6R （2-41）

式中 a₆——正六边形边长（mm）；

R——正六边形外接圆半径（mm）；

S₆——正六边形周长（mm）；

r₆——正六边形内切圆半径（mm）；

A₆——正六边形面积（mm²）。

表2-8 正多边形内角角度和中心角角度

若用S_n表示正n边形的周长，正多边形（正n边形）的面积A_n为：

式中 S_n——正多边形周长（mm）；

r_n——正多边形内切圆半径（mm）。

在图2-28所示的正四边形（正方形）中，边长a=0，707D，外接圆直径D=1，414a，正四边形面积A₄为：

A₄=a² （2-45）

在图2-29所示的正三边形（等边三角形）中，边长a=1，155h=0，578h²，正三角形的高h=0，866a，这时，正三边形面积A₃为：

图2-28 正四边形

图2-29 正三边形

正多边形各部尺寸计算见表2-9。

表2-9 正多边形各部尺寸计算

（续）

二、弓形类工件计算

1，弓形尺寸计算

在图2-30所示的阴影直角三角形中，根据勾股定理得下式：

展开后得：

则

图2-30 弓形类工件

于是

由式（2-47a）得：L²=4（DH-H²）=4H（D-H）

于是

又由式（2-47a）得，用代数解二次方程式的公式求解H得：

式中 D——弓形直径（mm）；

H——弓形高（mm）；

L——弓形弦长（mm）。

当弓形小于半圆时取“-”号，大于半圆时取“+”号。

已知弓形件的中心角α和半径r，计算弓形弧长l、弓形高H、弓形弦长L，见表2-10。

表2-10 弓形尺寸计算表

（续）

【例】图2-31是一个半圆键工件，长L=43，08mm，高H=16mm，问它的直径D是多少？

【解】用式（2-47b）进行计算：

【例】如图2-32所示的轴件，直径20mm，圆头半径18mm，问圆弧头部分的高度H是多少？

【解】本题相当于求弓形高H，已知弦长L=20mm，弓形所属的圆直径D=2R=2×18mm=36mm，代入式（2-49），由于弓形小于半圆，这时：

图2-31 半圆键工件

图2-32 带圆弧头的轴件

2，弓形圆弧面重心计算

图2-33中，弧面重心到圆心距离为D₁，计算D₁可使用式（2-50）：

式中 L——弓形弦长（mm）；

A——弓形圆弧面面积（mm²）。

利用式（2-50）计算D₁是比较费事的，实际工作中，知道弓形角度θ和半径R后，可查表2-11，并利用式（2-51）进行计算：

图2-33 弓形圆弧面重心计算

D₁=δR （2-51）

式中 δ——系数；

R——弓形工件半径（mm）。

3，大半径弓形工件作图计算

当弓形工件的半径很大，使用大圆规也不能作图时，可采用图2-34所示方法，先在弧线上定出若干个等分段，例如，对一个特大半径定出100个等分段，各水平等分段长度为Y，即，下一个分段点比上一个分段点下移距离为Z，Z=KR，各段的K值从表2-12中查出。

图2-34 大半径弓形作图计算

例如，图2-34中分出6个等分段，在确定第4个分段点的下移距离Z时，从表2-12中查出第4个分段点的K值为0，00081，弓形工件半径R=7500mm，则Z=KR=0，00081×7500mm=6，075mm。

表2-11 弓形圆弧面重心计算系数表

表2-12 特大半径弓形工件作图系数K值表

（续）

4.弓形和扇形类工件面积计算

如图2-35所示，在半径为R的圆中，因为圆心角是360°的扇形面积就是圆面积A_面=πR²，所以圆心角等于1°的扇形面积为，这样，在半径为R的圆中，圆心角α的扇形面积计算公式如下：

又因为扇形的弧长，扇形面积可以写成，所以又

得到：

图2-35中，把扇形面积和三角形OAB的面积计算出来，就可以得到弓形AMB的面积。当弓形小于半圆时，弓形面积A_弓形等于扇形面积A_扇形减去三角形OAB的面积A_三角形，即A_弓形=A_扇形-A_三角形；但弓形大于半圆时，弓形面积A_弓形=A_扇形+A_三角形；当弓形等于半圆时，弓形面积，计算任意弓形工件的面积A（图2-36）时，可采用式（2-54）：

图2-35 扇形面积计算

图2-36 计算弓形面积

式中 l——弓形弧长（mm）；

R——弓形半径（mm）；

L——弓形长度（mm）；

h——弓形高度（mm）。

计算弓形半径R时采用式（2-55）：

计算弓形高度h时，还可采用式（2-56）：

三、圆锥体工件计算

圆锥体表面的母线与轴心线相交成某种角度时，在圆锥面上就形成最大圆锥直径D和最小圆锥直径d（图2-37）。D和d之差与圆锥长度L之比就是锥度K。例如，图样中标注出锥度K=1∶10的圆锥工件，表示圆锥长度L等于10mm时，D与d之差为1mm，若L=100mm，则D与d之差为10mm。

图2-38中，α为圆锥角（圆锥角α=锥度K），为圆锥半角，L为圆锥长度，它们之间的计算关系如下：

图2-37 圆锥体工件

图2-38 圆锥各部分计算

实际工作中，按照锥度求算圆锥半角时还可采用下面方法计算。对锥度的定义理解为：如锥度1∶n，则表示相差长度等于n时，大端直径D和小端直径d相差1mm；如锥度为m∶n，表示相距长度为n时，大端直径D和小端直径d相差m。这时，根据式（2-57）：

或

【例】已知工件的锥度为1∶20，求圆锥半角是多少？

【解】用式（2-63）进行计算：

查三角函数表，圆锥半角

锥体长度、锥体斜长和圆锥半角的互算：在图2-39的直角三角形ABC中，设圆锥半角，

这时：

图2-39 圆锥体工件计算

四、斜面类工件的计算

1，斜面的计算关系

工件上的一个表面与另一个基准面交成某种角度的平面称作斜面，斜面的倾斜程度就是斜度。斜度M等于锥度K的一半。根据图2-38可知，圆锥半角即为斜度M。斜度的斜角大小可用β表示，即：。

图2-40 楔条形工件

图2-40所示是楔条形工件，若长度l为30mm，当大端H与小端h的高度差等于1mm时，这时的斜度为1∶30，即M=1∶30（锥度为1∶15）。斜度M的计算关系如下：

由于H-h=ltanβ，所以：

H=h+ltanβ （2-68）

h=H-ltanβ （2-69）

式中 H——大端高度（mm）；

h——小端高度（mm）；

l——工件长度（mm）；

β——斜面斜角（°）。

根据图2-38所示推导出的关系式可知：，即以两个对称的直角三角形关系，求得圆锥半角（斜角），也可由圆锥半角（斜角）的两倍来获得圆锥角（锥度）。但这时，tan2M≠2tanM，所以不能用锥度K=tan2M来进行计算，同理，也不能用给出的2M值直接代入公式进行其他参数的计算，必须用或2tanM来计算，否则将因计算错误而造成锥角误差。

2，斜面工件斜边长度的计算

实际工作中，如果已知直角三角形的AC和BC，求AB斜边长时，可用下面公式：

AB=AC×斜度系数（2-70）

斜度系数（见表2-13）随斜度改变而变化。

【例】直角三角形大边AC为600mm，小边BC为300mm，求AB长度。

【解】 1）计算斜度

2）查表2-13可知斜度系数为1，118。

3）用式（2-70）计算斜边长AB，AB=AC×斜度系数=600mm×1，118=670，8mm。

如果斜度的百分数不是整数而带小数时，可利用表中斜度的“差数”计算。例如，要查斜度为49，6%的斜度系数时，步骤如下：

①先查出斜度为49%时的斜度系数为1，1136；

②再查出斜度为49%和50%中间的差数是0，0044；

③即：斜度相差1时，系数相差0，0044。现斜度相差0，6，系数相差为：0，6×0，0044=0，00264；

④将49%的斜度系数和系数相差值加在一起，即是49，6%的斜度系数1，1136+0，00264=1，11624。

表2-13 计算斜边长度系数表

（续）

3.楔铁形工件的斜度互算

在楔铁形工件的图样中，一般注明斜度1∶M（标准斜度是1∶100），它注明的是指端面CA内的斜度（图2-41）。若大端宽度为40，小端宽度为39，如果需要知道法面（法向）CB内的斜度1∶n，这时，CA平面内，楔铁大端边宽为b₂，小端边宽为b₁，则：

式中 l——楔铁工件长度（mm）。

设在法面CB平面内，楔铁两端的厚度各为t₁和t₂，则：

在直角三角形ABC中，，则：

t₁=b₁sinα （2-72b），则：

t₂=b₂sinα （2-72c）把式（2-72b）和式（2-72c）代入式（2-72a）得：

于是：

法面斜度

端面斜度1∶m=1∶nsinα（2-73）

【例】一燕尾槽角度α=55°，端面（CA平面）内的斜度是1∶100（图2-41），问楔铁工件在法面（CB平面）内的斜度1∶n是多少？

图2-41 楔铁工件斜度计算

【解】用式（2-72d）进行计算：

1∶n=1∶mcscα=1∶100csc55°=1∶100×1，2208

1∶n=1∶122，08

4，楔铁工件毛坯尺寸计算

加工楔铁类工件时，应先检查毛坯尺寸是否符合要求，量出毛坯的厚度和宽度是否有足够的加工余量。直楔铁（图2-42）的毛坯厚度b′和宽度H′尺寸用下式计算：

b′=b+2h=asinα+2h （2-74）

式中 b′——楔铁的毛坯厚度（mm）；

b——楔铁的厚度（mm）；

a——楔铁窄面的宽度（mm）；

α——楔铁宽面与窄面的夹角，一般为55°或60°；

h——厚度上的每面加工余量（mm）；

S——宽度上的每面加工余量（mm）；

H′——楔铁毛坯的宽度（mm）；

图2-42 直楔铁及其毛坯

a）直楔铁工件 b）直楔铁毛坯

H——楔铁的宽度（mm）。

五、轴键槽和孔键槽计算

键是一种标准连接件，分为平键、半圆键和楔键等，最常用的还是平键连接，轴与平键连接如图2-43所示。平键的端部分为A型（双圆头）、B型（方头）、C型（单圆头）三种。选择普通平键键槽的尺寸和公差见表2-14。

图2-43 轴与平键

例如，某输出轴与齿轮采用平键连接，选用A型平键。轴直径d=75mm，齿轮宽度80mm。这时从表2-14中查得平键尺寸为：宽度b=20mm，高度h=12mm；轴键槽尺寸为：、轮毂（齿轮孔）键槽JS9（±0，026），如图2-44所示；键长度L=70mm，其标记为：GB/T1096键A20×12×70。