第三节 常用几何定理

几何定理和三角函数一样，都是机械加工以及技术测量过程中最常用到的计算。实际计算时，又往往出现这样的情况，就是在用三角函数计算的同时，又要结合几何定理去求解；或者在用几何定理进行求解的同时，常常要用三角函数去计算，两者虽然计算方法不同，但都是互相依存的统一体，因此熟悉和掌握并使两者联系起来，找出计算规律和计算途径，以便灵活地进行种种计算，都是需要解决的问题。

一、计算长度的几何定理

1，勾股定理

勾股定理是几何中一个非常重要的定理，应用很广。

在图1-1a所示的直角三角形中，斜边c叫做弦，两个直角边中的短边a叫做勾，长边b叫做股。当勾是3，股是4，那么弦就等于5，并且，所有的直角三角形都具有这个性质。

勾股定理就是直角三角形的斜边平方等于其他两边的平方和。

用公式表示，即：

c²=a²+b²

由此式导出：

根据勾股定理，在直角三角形中，已知任意两条边长，都可以求出第三条边长，使用这个定理计算长度非常方便。

2，30°和60°直角三角形定理

根据几何定理，若直角三角形中两个锐角各等于30°和60°，则斜边长度为最短边的两倍。反之若斜边长度为最短边的两倍，则两锐角各为30°和60°。

图1-9中，若∠A=60°，∠B=30°，则c=2b。按勾股定理可以求得：若b=1，c=2，则，即：a∶b∶c=。

图1-9 30°和60°直角三角形定理

二、常用计算角度的几何定理

1，三角形外角定理

根据几何定理，三角形任意一边的延长线和另一边夹成的角度叫做外角，外角等于不相邻的两个内角之和。

图1-10中，外角∠ACD=∠A+∠B。

2，平行线性质定理

图1-10 三角形外角定理

图1-11a中，两平行线被一直线所截，形成的同位角相等，即：∠α=∠α′，∠β=∠β′

图1-11b中，两平行线被一直线所截，形成的错角相等，即：∠θ=∠θ′，∠γ=∠γ′

3，切线性质定理

图1-12中，B和C是切线的切点，则AB⊥BO，AC⊥CO。

图1-11 平行线的同位角和错角定理

a）同位角 b）错角

图1-12 切线性质定理

4，对应边相互垂直等角补角定理

根据几何定理，两个角两对应边相互垂直，则这两个角相等或相补（相补即其和等于180°）。如图1-13a中，∠α和∠β的两对应边相互垂直，则∠α+∠β=180°，即∠α和∠β相补，∠α和∠γ两对应边也相互垂直，则∠γ=∠α。

图1-13 对应边互相垂直的补角等角定理

a）两角相补 b）两角相等

又如图1-13b中，∠θ和∠δ两对应边也相互垂直，∠δ=∠θ。5，对应边相互平行等角补角定理

根据几何定理，两个角的两对对应边平行，则两角相等或相补。若角的两边沿开口方向，叫做边的“辐射方向”，如图1-14所示的箭头所示。若两对对应边辐射方向均同向或均异向，则两角相等。图1-14中，∠α₁和∠α₂两对对应边平行，而且辐射方向两边均相同，所以∠α₁=∠α₂。因∠α₁和∠α₃两对对应边也平行，而两边辐射方向均相反，所以∠α₁=∠α₃。若两对对应边的辐射方向有一对对应边同向，而另一对对应边异向，则这两角互补。图1-14中∠α1和∠β，两对对应边平行，但其辐射方向一对同向一对异向，所以∠α₁+∠β=180°，即∠α₁和∠β互为补角。

图1-14 对应边互相平行 的等角或补角定理

三、应用几何定理求算尺寸的一般方法

利用几何方法求算长度，勾股定理用得最多。应用勾股定理进行计算，也需要先组成一个直角三角形，其计算和用三角函数中的方法大致相同。

1，应用几何计算组成直角三角形

图1-15所示是个截圆形，已知直径d和平面间厚度h，求平面部分的宽度b，这时，从A点到B点和A点到C点作辅助线，这样，d、b和h组成了直角三角形ABC。

图1-16中，已知R和H，求算L，这时，利用简算后的已知数（R-H）和R及要求算的数L组成直角三角形ABC，进行计算。

图1-15 截圆形（一）

图1-16 带圆角工件

图1-17中，已知弓形长S和弓形半径R，求算弓形高b，这时，可利用未知数h和已知数与R组成直角三角形ABO，求出h，则可算出b（b=R-h）。

2，应用几何定理计算示例

（1）截圆形尺寸互算图1-18所示是截圆形，D是圆的直径，A是平面部分的宽度，B是两平面对边距离。计算长度和距离时，根据勾股定理得到下式：

图1-17 弓形工件

图1-18 截圆形（二）

公式简化后得：D²=A²+B2

于是

【例】 有一工件直径D=30mm（图1-19），平面部分的宽度A要求为22mm，问对边距离B是多少？

【解】 用式（1-3）进行计算：

（2）凹圆弧尺寸互算在图1-20中，圆弧半径为R，圆弧高度是H，圆弧部分长度是L。在阴影直角三角形中，根据勾股定理可得：R²=L²+（R-H）2，即R²=L²+R²-2RH+H²，则：

2RH=L²+H² （1-4a）

图1-19 方截圆形

由式（1-4a）得：

又由式（1-4a）得：H²-2RH+L²=0，解二次方程式得：

所以

【例】 设工件（图1-20）槽深H=10mm，要在长15mm内用圆弧来连接，问圆弧半径R为多少？

【解】 用式（1-4b）进行计算：

（3）轴圆角尺寸互算图1-21所示的轴件，大直径D和小直径d，用圆角半径R连接，圆弧段的轴向长度L，它们的互算方法实际上和图1-20所示的圆角工件是一致的，这时，，代入式（1-4b）和式（1-5）后得：

图1-20 带凹圆弧工件

【例】 图1-21的圆轴，大直径D=35mm，小直径d=25mm，在大小两轴间的8mm长度内以圆弧连接（即L=8mm），求圆角半径R为多少？

【解】 用式（1-7）进行计算：

【例】 某工件的大小圆轴间的圆弧半径R=8mm，大轴直径D=40mm，小轴直径d=32mm，问圆弧部分的轴向长度L为多少？

【解】 用式（1-8）进行计算：

（4）正三角形和它的内切圆外接圆尺寸互算在图1-22中，正三角形边长S，内切圆直径d，外接圆直径D。在直角三角形OAB中，因∠，∠BOA=60°，同样根据30°和60°直角三角形定理（图1-9）得：

图1-21 带圆弧半径的轴件

图1-22 正三角形和它的内切圆外接圆

即：

因，所以：

因，所以：

【例】要加工一个正三角形冲模的冲头，三角形边长是30mm，如果用圆形工具钢来加工，问该用多大直径的圆料？

【解】用式（1-10）进行计算：

D=1，1547S=1，1547×30mm=35mm

（5）孔距的计算如图1-23所示，两个孔中心横向距离是a，纵向距离是b，两孔中心斜距离为c，计算两孔中心距时的公式可利用勾股定理，即：

c²=a²+b² （1-14）

图1-23 两孔距离尺寸

图1-24中的三孔距离尺寸，同样可用以上三个公式来计算。

图1-24 三孔距离尺寸

【例】 图1-23中的两孔距离c=80mm，横向距离a=50mm，求算纵向距离b为多少？

【解】 用式（1-17）进行计算：

如图1-25所示，需要知道多孔工件中心距时，使用游标卡尺量出壁厚和相邻两孔的直径，然后用公式计算。图中，大孔直径为D，小孔直径为d，壁厚为N，两孔中心距用式（1-18）计算：

式中 A——相邻两孔中心距（mm）。

对于不便于测量或数值要求很精确时，两孔中心距可利用勾股定理计算。

图1-25 孔心距及其计算

a）两孔工件 b）三孔工件

从图1-25a可知：

所以A=M+O₁′B+O₂′C

式中 A——两孔中心距（mm）；

M——千分尺测量两孔壁间厚度（mm）；

D——大孔直径（mm）；

d——小孔直径（mm）；

L——千分尺测量触头直径（mm）。

（6）圆锥体垂直高和斜高互算图1-26所示是个圆锥体，垂直高h，斜高l，底圆直径D，在阴影直角三角形中，根据勾股定理可得：，于是：

【例】 一圆锥体底圆直径D=100mm，垂直高h=140mm，问斜高l为多少？

【解】 用式（1-20）进行计算：

（7）截圆锥体垂直高和斜高互算在图1-27的截圆锥体中，上底直径为d，下底直径为D，垂直高h，斜高l，在阴影直角三角形中，根据勾股定理可得：

图1-26 圆锥体

图1-27 截圆锥体

于是

【例】 一截圆锥体上底直径d=200mm，下底直径D=320mm，垂直高h=210mm，求算它的斜高l为多少？

【解】 用式（1-22）进行计算：

四、几何图形计算

1，图形角度α计算（一）

图1-28a所示的工件图形，求算角度α。图1-28b中，C点是R2的中心，D是圆弧和直线切点，连接AC得到两个直角三角形ABC和ACD。在三角形ABC中，，BC=25mm-2mm=23mm，则。查三角函数表（见附录B），α₁=66°30′

因

则

因

查三角函数表得α₂=4°34′，

α=90°-（α₁+α₂）=90°-（66°30′+4°34′）=90°-71°4′=18°56′。

2，图形角度α计算（二）

图1-29a所示的工件图形，求算角α时，如图1-29b所示。

图中，A和C是两个圆弧的中心，E和F是切点，作CD//EF，AD=AF-FD=10mm-5mm=5mm，AB=20mm-5mm=15mm，CB=30mm-5mm=25mm。

在直角三角形ABC中，，查三角函数表得α₁=30°58′，又，则。

图1-28 图形角度计算（一）

a）工件图形 b）计算图形

图1-29 图形角度计算（二）

a）工件图形 b）计算图形

在三角形ADC中：

查三角函数表得α₂=9°53′，所以α=α₁+α₂=30°58′+9°53′=40°51′。

3，图形角度α计算（三）

图1-30a所示的工件图形，计算角度α时，如图1-30b所示。

图中，C点是R5的中心，D是圆弧和直线的切点，AB=40mm，CB=20mm-5mm=15mm，CD=5mm。在直角三角形ABC中，

，

查三角函数表得α₁=20°33′。

同时则；

在直角三角形ACD中，；

查三角函数表得α₂=6°43′；所以 α=α₁+α₂=20°33′+6°43′=27°16′。

4，图形高度h计算图1-31a所示的工件图形，求算高度h时，如图1-31b所示。

图1-30 图形角度计算（三）

a）工件图形 b）计算图形

图1-31 图形高度计算

a）工件图形 b）计算图形

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°-70°=20°，c，则

在直角三角形ADC中，∠CAB=70°，∠BAD=10°（因对应边互相平行，故∠BAD=10°），则∠CAD=70°+10°=80°，。

则 AD=10，64mm×cos80°=10，64mm×0，17365=1，85mm

即 h=1，85mm

5，图形直径d的计算

图1-32a所示的工件图形，求算直径d时，如图1-32b所示。

图1-32 图形直径计算

a）工件图形 b）计算图形

图中，O点是R5中心，作OE⊥DE，OB∥DE，在直角三角形ABO中：

BA=AO×tan20°=15mm×0，36397=5，4595mm

按角的对应边相互垂直等角定理（图1-13），则∠DBC=∠BOA=20°。

在直角三角形BCD中：

所以 d=2（BD+BA）=2×（5，3210+5，4595）mm=21，56mm

6，计算圆弧所对圆心角α

图1-33所示的工件图形，要求算出圆弧R30所对的圆心角α时，按对应边互相垂直等角定理，因OD⊥CD，OA⊥CA，则β=40°

所以 α=90°-β=90°-40°=50°

7，计算斜度斜角α

图1-34所示的工件图形，求算角度α时，按对应边互相垂直等角定理，因EB⊥AB，CD⊥CA，则β=12°，因三角形FCD中，按三角形内角和等于180°的定理得：（α+β）=90°-70°=20°。

所以α=20°-β=20°-12°=8°

图1-33 圆弧所对圆心角计算

图1-34 斜度斜角计算