2.1 计算流体动力学理论基础

理论流体力学、实验流体力学和计算流体动力学（CFD）是流体力学的3个主要研究方向。理论流体力学提供了描述运动流体的数学和物理模型，实验流体力学捕捉到了流体运动中的重要现象，而CFD则架起了理论流体力学和流动现象之间的桥梁，是流体力学研究的重要手段。

2.1.1 流体动力学基本方程

1.Navier-Stokes方程

流体的流动遵守三大守恒定律，即质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律，分别对应的控制方程为质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。3个守恒方程组成Navier-Stokes方程组，简称N-S方程。水力机械内的流体运动为三维粘性不可压缩的非定常流动，N-S方程在直角坐标系下的表达式^[142]为：

2.时间平均Navier-Stokes方程

本书采用雷诺时均法（RANS）对上述方程进行求解。雷诺时均法（RANS）的主要思想是通过作时间平均处理，把N-S方程中瞬时尺度的量表示为平均分量和脉动分量的形式，称为动量方程的雷诺应力平均处理。则守恒方程中每一个特征变量可分解为时均值和脉动值：

则平均值可由下式求得

式中，ϕ_i为i方向瞬时值；为i方向平均值；ϕ_i′为i方向脉动值。

不可压缩流体的时均N-S方程见式（2-5）和式（2-6）。因为此处所有的变量都为时均流动量，则习惯上省略时间符号。

连续性方程

动量方程

2.1.2 SST k-ω湍流模型

本书选用由Menter^[143]提出的Shear Stress Transport（SST）k-ω湍流模型封闭求解方程组。该模型是一种混合模型，可以利用调配函数在近壁区的k-ω模型和远离壁面区域的k-ε模型之间进行转换，且具有k-ω模型计算近壁区域粘性流动的准确性和k-ε模型计算远场自由流动的精确性。其方程如下：

式中，F₁是调配函数，取1时代表近壁区，取0时代表远离壁面区域。

2.1.3 壁面函数

所采用的壁面函数法是Launder和Spalding提出方法^[144]的推广。在该壁面函数法中，近壁网格点上的相关变量与壁面条件的联系是通过经验方程建立的。在对数区间中，近壁区的切向速度与壁面切应力τ_ω的对数形式相关，则近壁面速度的对数关系可表示为

其中，

式中，u⁺是近壁面速度；u_τ是摩擦速度；U_t是在距离壁面Δy处已知的壁面切向速度；y⁺是到壁面的无量纲距离；τ_ω是壁面切应力；κ是冯卡曼常数；C′是根据壁面粗糙度给定的对数层常数（使用自然对数）。