§2.1　矩阵

通过本节的学习，学生应理解矩阵、方阵行列式的概念；了解单位矩阵、对角矩阵、数量矩阵、三角矩阵、对称矩阵的概念.

2.1.1　矩阵的定义

在许多实际问题中，常需要把一些数据按一定的顺序排成一个矩形表.

例　某企业2015年生产某产品，支付的成本、销售的收入和获得的利润按四个季度可以排成表2-1.

上述数据可用矩形数表

表示.这样由一些元素按一定顺序组成的矩形数表就是矩阵.

定义1　由m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成的m行n列的数表

称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵.其中aij称为矩阵的第i行第j列元素.矩阵可用大写字母A，B，…来表示，有时为了指明行数或列数可写成Am×n或A=（aij）m×n.特别地：

（1）当m=n时，称A为n阶方阵或n阶矩阵，简记为An

（2）当m=1时，矩阵只有一行，称A为行矩阵.

A=（a1，a2，…，an）.

（3）当n=1时，矩阵只有一列，称A为列矩阵.

元素都是实数的矩阵称为实矩阵，元素含有复数的矩阵称为复矩阵.本书中的矩阵除特别说明外都是实矩阵.

定义2　如果两个矩阵的行数和列数都相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.

如果两个矩阵A=（aij）m×n与B=（bij）m×n是同型矩阵，且它们的一切对应元素都相等，则称这两个矩阵相等，记作A=B.

2.1.2　常用的特殊矩阵

1.零矩阵

元素都是零的矩阵

称为零矩阵，记为O.

2.对角矩阵

对角线元素为λ1，λ2，…，λn，其余元素为0的方阵

称为对角矩阵，记为Λ，也可记为diag（λ1，λ2，…，λn）.

3.数量矩阵

对角阵上元素均相等，其余元素为零的方阵

称为数量矩阵或纯量矩阵.

4.单位矩阵

对角线元素为1，其余元素为0的方阵

称为单位矩阵，记为E.

5.上三角矩阵

对角线下方元素全为0的方阵

称为上三角矩阵.若记A=（aij），则其元素aij当i>j时为零.

6.下三角矩阵

对角线上方元素全为0的方阵

称为下三角矩阵.若记A=（aij），则其元素aij当i<j时为零.