§1.3　克拉默法则

引例　对三元线性方程组

在其系数行列式D≠0的条件下，已知它有唯一解

其中

注：　这个解可通过消元的方法直接求出.

对更一般的线性方程组是否有类似的结果？答案是肯定的.在引入克拉默法则之前，我们先介绍有关n元线性方程组的概念.含有n个未知数x1，x2，…，xn的线性方程组

称为n元线性方程组.当其右端的常数项b1，b2，…，bn不全为零时，线性方程组（1-8）称为非齐次线性方程组，当b1，b2，…，bn全为零时，线性方程组（1-8）称为齐次线性方程组，即

线性方程组（1-8）的系数aij构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即

定理1　（克拉默法则）若线性方程组（1-8）的系数行列式D ≠0，则线性方程组（1-8）有唯一解，其解为

其中，Dj（j=1，2，…，n）是把D中第j列元素a1j，a2j，…，anj对应地换成常数项b1，b2，…，bn，而其余各列保持不变所得到的行列式.

定理2　如果线性方程组（1-8）的系数行列式D≠0，则线性方程组（1-8）一定有解，且解是唯一的.

在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理：

定理2′　如果线性方程组（1-8）无解或解不是唯一的，则它的系数行列式必为零.

对齐次线性方程组（1-9），易见x1=x2=…=xn=0一定是该方程组的解，称其为齐次线性方程组（1-9）的零解.把定理2应用于齐次线性方程组（1-9），可得到下列结论.

定理3　如果齐次线性方程组（1-9）的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组（1-9）只有零解.

定理3′　如果齐次线性方程组（1-9）有非零解，则它的系数行列式D=0.

注：　在其他章中还将进一步证明，如果齐次线性方程组的系数行列式D=0，则齐次线性方程组（1-9）有非零解.

例1　用克拉默法则解方程组

所以

例2　为了身体的健康需注意日常饮食中的营养.大学生每天的配餐需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，表1-1给出了这三种食物提供的营养以及大学生正常所需的营养（它们的质量以适当的单位计算）.

试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组确定每天需要摄入的上述三种食物的量.

解　设x1，x2，x3分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可得出下列线性方程组：

由克拉默法则可得

从而每天摄入0.277个单位的食物一、0.392个单位的食物二、0.233个单位的食物三就可以保证健康饮食了.

例3　一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社.假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如表1-2所示.问：这段时间内，每人的总收入是多少（总收入=实际收入+支付服务费）？

解　设土建师、电气师、机械师的总收入分别为x1，x2，x3元.

根据题意，可以得到

化简，得

因，根据克拉默法则，方程组有唯一解.

由D1=872，D2=1005，D3=1080，可得

因此，在这段时间内土建师、电气师、机械师的总收入分别是1256.48元、1448.13元、1556.20元.

一般来说，用克拉默法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的.对具体的线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解.目前用计算机解线性方程组已经有了一整套成熟的方法.

克拉默法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克拉默法则更具有重大的理论价值.

例4　λ为何值时，齐次线性方程组

有非零解？

解　由定理3′知，若所给齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0.

如果齐次性方程组有非零解，则D=0，即λ=0或λ=2或λ=3时，齐次线性方程组有非零解.