2.8.2　误差的方和根合成公式

当各直接测定量的误差为纯粹的随机误差，且标准差为已知时，可以推导出误差的方和根公式。

设为了求间接测定量的结果，对各直接测定量分别进行了N次等精度测定。由误差传递的基本公式（2-25）可知，第i次测量的间接测定量误差为

两边平方，得

对N次测量所得到的间接测定量误差的平方求和后，注意到，如果x1，x2，…，xm是相互独立的量，当n→∞时，式（2-27）右边的非平方项的和为零。于是

上式两边除以N，再结合标准差的定义式（2-13），有

这就是误差的方和根公式，又称随机误差传递公式。

由上面的误差方和根合成公式的推导过程，再比较式（2-25）和式（2-28），不难看出，将式（2-25）中的记号“d”改为“σ”，然后将右边各项分别平方，再加和并开平方，即得到式（2-28）。实际上，这就是求一个函数的方和根合成公式的全过程。

【例2-4】　求对数函数y=lnx的误差的方和根合成公式。

解：　求微分得

所以

由例2-4可以看出，如果y只是一个直接测定量x的函数，则误差的方和根合成公式（2-28）可简化为

【例2-5】　求函数误差的方和根合成公式。

解：　将原方程两边取对数后再求全微分，得

所以

或者直接由上面第二式写成

【例2-6】　求函数y=xw的误差方和根合成公式。

解：　lny=wlnx

所以