第一章 解三角形

第一节 正弦定理

一、课标导航

二、概念辨析

1.应用正弦定理解三角形

应用正弦定理解三角形时，我们会遇到已知两角（或者两个角的三角函数值）一边情况和已知两边一角（或者角的三角函数值）两种情况，而需特别注意的是后者，由于我们求出的是角正弦值，此角可能会是锐角或者钝角，参见下例：

问题1：

（1）在△ABC中，若BC＝，AC＝2，B＝45°，则角A等于（ ）.

A.60°

B.30°

C.60°或120°

D.30°或150°

（2）在△ABC中，若a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，则b等于（ ）.

A.4

B.4

C.4

D .

【分析】在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知中存在钝角或直角时，最多有一解，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解.

【解答】（1）由正弦定理可得：，则A＝30°或者150°，又∵BC＜AC∴A＜B所以A＝30°（常用结论大边对大角，大角对大边），故选B.

（2）由正弦定理得∵，∴b＝4.故选C.

2.正弦定理的变式应用问题

问题2：

在△ABC中，若2acosB＝c，则△ABC的形状一定是（ ）.

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

【分析】正弦定理常见变式：

①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC

②sinA＝，s inB＝，sinC ＝

③

④a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC

【解答】由正弦定理变形a＝2RsinA，c＝2RsinC，带入2acosB＝c，可得2sinAcosB＝sinC＝sin（A＋B）

∴2sinAcosB＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB

∴sinAcosB－cosAsinB＝0即sin（A－B）＝0

由于在△ABC中，故A－B＝0

所以△ABC为等腰三角形，故选C.

3.三角形的面积问题

在学习正弦定理及其证明之后，三角形的面积公式拓展为：

（1）S_△＝ah_a＝bh_b＝ch_c（h_a、h_b、h_c分别表示a、b、c上的高）；

（2）S_△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；

（3）；

（4）S_△＝2R2sinAsinBsinC（R为外接圆半径）；

（5）S_△＝.

问题3：

在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2则△ABC的面积是_____.

【分析】给出的三个条件可以求得sinC，利用图形与勾股定理必可求出第三边长度，使用S_△＝absinC可得出结果，本题数值较为特殊，故有特解方法.

【解答】由正弦定理，可以解得sinC＝，

∴C＝60°或者120°，

当C＝60°时，△ABC为直角三角形，所以求得面积为2，

当C＝120°时，△ABC为等腰三角形，故BC＝AC＝2，S_△＝absinC＝，

∴答案为或2.

三、全能突破

基础演练

1.在△ABC中，已知cosB＝，sinC＝，AC＝2，那么边AB等于（ ）.

A .

B .

C.

D.

2.在△ABC中，下列等式总能成立的是（ ）.

A.acosC＝ccosA

B.bsinC＝csinA

C.absinC＝bcsinB

D.asinC＝csinA

3 .在△ABC中三个内角，A，B，C的对边分别是a，b，c；a＝12，b＝15，cosC＝，则S_△ABC＝（ ）.

A.90

B.120

C.144

D.72

4.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c；A＝60°，a＝4，b＝4，则角B等于（ ）.

A.45°或135°

B.135°

C.45°

D.以上答案都不对

5.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝150，b＝50，那么这个三角形是（ ）.

A.等边三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

6.在△ABC中，则△ABC一定是（ ）.

A.直角三角形

B.钝角三角形

C.等腰三角形（非等边三角形）

D.等边三角形

7.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，如果A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于（ ）.

A.1∶2∶3

B.1∶∶2

C.1∶4∶9

D.

8 .在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c；若a＝3，sinA＝，sin（A＋C）＝，则b 等于（ ）.

A.4

B.

C.6

D.

9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c；若acos A＝bsin B，则sinAcos A＋cos2 B＝_____.

10.在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S_△ABC＝4，则b＝______.

11.在△ABC中，a＋b＝1，A＝60°，B＝45°，求a，b.

能力提升

12.在△ABC中，已知3b＝2csinB，且cosB＝cosC，则△ABC的形状是（ ）.

A.直角三角形

B.等腰三角形（非等边三角形）

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

13.在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，则△ABC的形状是（ ）.

A.直角三角形

B.等边三角形

C.不能确定

D.等腰三角形

14.在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA∶sinB∶sin∶C＝4∶5∶6，下列结论：

①a∶b∶c＝4∶5∶6

②a∶b∶c＝

③a＝2cm，b＝2.5cm，c＝3cm

④A∶B∶C＝4∶5∶6

其中成立的个数是（ ）.

A.0

B.1

C.2

D.3

15.在△ABC中，已知3acosA＝ccosB＋bcosC，则cosA＝_____.

16.若在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S_△ABC＝，则＝______.

17.在△ABC中，若b2＝－ac，则cos（AC）＋cosB＋cos2B的值是_____.

18.在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是_____.

19.在△ABC中已知，2a＝b＋c，sin2A＝sinBsinC是判断△ABC的形状.

20.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边且，.

21.在△ABC中，已知a2－a＝2（b＋c），a＋2b＝2c－3，若sinC∶sinA＝4∶，求a，b，c.

22.在△ABC中，，求角B的大小.

23.在△ABC中，若，则求证：a＋c＝2b.

24.在△ABC中，D为边BC上的一点，DB＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD.

25.在三角形ABC中，，sin（B－A）＝cosC.

（1）求A，C；

（2）若S_△ABC＝3＋，求a，c.

高考链接

26.（2011年天津高考）在三角形ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cosA＝-.

（1 ）求sinB的值；（2）求的值.

27.（2012年全国II卷）在△ABC中，cosA＝－，cosB＝.

（1）求sinC的值；（2）设BC＝5，求△ABC的面积.

28.（2013湖南）在△ABC中，，求角A，B，C的大小

巅峰突破

29.设锐角△ABC，a＝2bsinA，（1）求角B大小；（2）求cosA＋sinC的取值范围.

30.已知在△ABC中，有2a＋2c＝（＋1）b.

（1 ）求证：；

（2）若A＋C＝90°，求C.