从Exner方程到滞后响应模型

安晨歌，宋云天，傅旭东

(清华大学　水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京　100084)

【摘　要】　滞后响应模型作为一种描述河床演变规律的经验性模型，被广泛用于研究河床在外部扰动下的调整过程。本文从河床演变的泥沙守恒方程(Exner方程)入手，通过对其进行简化封闭和解析求解，发现滞后响应模型和Exner方程的一阶近似解具有相似的公式形式：河床高程随时间的演变都呈指数衰减形式，并最终趋近于平衡状态。根据理想算例的计算结果表明，Exner方程的一阶近似解在中长期的时间尺度上具有较高的精度，从而为滞后响应模型在中长期河床演变中的应用提供了理论基础。

【关键词】　Exner方程；滞后响应模型；一阶解析解；中长期河床演变

基金项目：国家自然科学基金杰出青年科学基金项目(51525901)。

作者简介：安晨歌(1991—　)，男，河南新乡人，博士，主要从事河流动力学研究。

E-mail:anchenge08@163.com

1　研究背景

冲积河流的河床演变一方面受到自然条件和人类活动的共同作用，另一方面又对人类活动产生十分深远的影响。由于河床演变物理机制和影响因素的复杂性，传统的研究方法，例如河相关系、极值假说等，大多是具有较强的经验性，并且只适用于处于平衡状态的河流(Wu等,2012)。对于河流在非平衡状态下的调整过程，有学者尝试使用指数函数、幂函数等概化的非线性方程，然而相关函数形式以及参数的选取同样缺乏相应的理论基础(Graf,1977;Simon,1989)。

根据泥沙守恒方程(Exner方程)，构建并数值求解基于物理过程的河流动力学模型，为研究河床演变问题提供了新的思路。这一方法具有较好的理论基础，且随着计算机计算能力的提升而在近年来得到了快速的发展。相关模型已被应用于弯曲河流演变(Parker等,2011)、山区河流模拟(Viparelli等,2011)、地震堰塞湖溃决(安晨歌等，2012)、高含沙河流模拟(贺莉等，2009)等方面，并取得了较好的效果。但是受计算机计算能力所限，精细的河流动力学模型目前仍然难以在较大的时间和空间尺度上得到广泛应用。

近年来，吴保生等人(吴保生，2008a,b；Wu等,2012)基于冲积河流自动调整的原理，建立了河床演变的滞后响应模型。该模型从变率方程(Graf,1977)出发，假定河流的某一特征量y在受到外部扰动之后，其调整变化速率dy/dt与该变量和平衡值ye之间的差值成正比，

(1)

式中：t为时间;β为特征量调整速率的衰减系数，通常假定为常数。

对式(1)求解可得

y=ye+(y0-ye)e-βt

(2)

式中：y0为特征量在t=0时的初始条件。

该模型目前已被成功地应用于模拟潼关高程、三门峡库区累计淤积量、科罗拉多河建库后的下游冲刷以及圣海伦斯火山爆发后图特河北汊的河床冲淤过程等一系列地貌演变过程(Wu等,2012；吴保生，2008；郑珊等，2013)。

滞后响应模型虽然能够较好地描述河床受到外部扰动之后向新平衡态调整的过程，但在其使用过程中仍存在一些亟待解决的问题，例如，①滞后响应模型基于变率方程得到，但变率方程在河床演变中的应用尚缺乏相应的理论基础；②衰减系数β是滞后响应模型中的关键性参数，但目前通常是根据实测数据进行率定，具有较强的经验性。本文通过对基于物理过程的Exner方程进行解析求解，探索滞后响应模型的理论基础。研究成果有利于加深对河床演变过程的物理认识，并为滞后响应模型的进一步应用提供借鉴价值。

2　Exner方程的解析求解

在不考虑非平衡输沙的条件下，Exner方程可以表达为

(3)

式中：η为河床高程；λp为床沙孔隙率；x为沿水流方向空间坐标；qs为单宽体积输沙率。

式(3)基于床沙的质量守恒，给出了河床高程η的控制方程。

在求解式(3)时，需给定单宽体积输沙率qs从而使方程得以封闭。常见的输沙率公式通常可以表达为剩余切应力的关系式，见式(4)(钱宁和万兆惠，1983；Parker，2004)：

(4)

(5)

τb=ρCfU2

(6)

式中：τ*为Shields数(无量纲剪切力)；为泥沙临界启动的Shields数，通常取0.03～0.06之间(钱宁和万兆惠，1983；Parker,2004)；α和m为待定系数，根据水槽试验的结果，m的取值通常在1.5左右(钱宁和万兆惠，1983；Parker,2004)；g为重力加速度；D为泥沙颗粒粒径；R=(ρs-ρ)/ρ为泥沙水下相对密度，ρs为泥沙密度，ρ为水的密度；τb为床面剪切力，其定义如式(6)所示；Cf为无量纲的阻力系数；U=qw/h为断面平均流速，qw为水流单宽流量，h为水深。

为使Exner方程可以解析求解，我们引入以下三点假设：①假设河流输沙强度较高，此时τ*远大于从而可以忽略不计；②选取输沙率公式中的指数m=1.5；③假设水流处于恒定均匀流状态且Cf为常数，此时水流重力沿流向的分量和床面剪切力相互平衡，从而有

τb=ρgSh

(7)

其中S=-∂η/∂x为河床坡降。联立式(4)～式(7)并代入相应的假设，可以得到简化后的输沙率公式

qs=αsqwS

(8)

(9)

其中αs为无量纲系数。将式(8)代入式(3)可得到简化后的Exner方程

(10)

对式(10)进行解析求解还需给定相应的初边值条件。其中上游边界通常为给定单宽输沙率qs=qsf，qsf为单宽泥沙补给速率，根据式(8)可得

(11)

下游边界条件通常为给定的侵蚀基准面，即

η|x=L=0

(12)

式中：L为河段长度。

初始条件则根据具体问题可以有不同的形式。

η|t=0=η0(x)

(13)

对式(10)～式(13)所给的扩散方程的初边值问题，我们采用分离变量法进行求解。在此我们仅直接给出求解结果，具体的求解过程读者可参考相应的数学教材(如Asmar，2006)。河床高程η的解析解可表达为两部分之和

η(x,t)=ηe(x)+ηd(x,t)

(14)

式中：ηe为河床经过足够长时间的演变之后最终达到的稳定状态；ηd为当前河床高程η与平衡状态下河床高程ηe的差值。

平衡状态下的河床高程可表示为

(15)

ηd可表示为如下所示的级数解

(16)

其中指数λn的表达式为

(17)

系数an与初始条件η0的选取有关，其表达式为

(18)

上述得到级数形式的解析解，其每一项在空间上表现为x的余弦函数，在时间上表现为随t衰减的指数函数。特别地，λn近似正比于n2，从而e-λnt随着n的增加急遽衰减，而an和cos[(n-0.5)xπ/L]的量级则不随n的增加而发生明显变化。因此可以仅取n=1时的一阶解作为近似：

(19)

对比Exner方程的近似解式(19)和式(2)所示的滞后响应模型可以发现，两者在形式在非常接近，尤其是都随时间t呈指数衰减的形式，从而为滞后响应模型的应用提供相应的理论基础。

3　结果与讨论

为了验证式(19)所示一阶近似解的适用性，并进一步说明滞后响应模型的理论基础，本节设计一个理想算例对Exner方程的一阶近似解和精确解进行对比。其中Exner方程一阶近似解由式(19)给出，其精确解则通过对式(10)～式(13)所示的初边值问题进行直接数值求解得到。在本节的算例中，我们考虑初始状态下河床处于某一平衡状态，通过增加上游泥沙补给河床发生沿程淤积并达到新的平衡。给定的初始条件为

(20)

计算参数的选取见表1。

图1给出了一阶近似解与精确解的对比，其中实线表示对Exner方程进行直接数值计算得到结果，虚线表示式(19)所示的一阶近似解。在不考虑数值误差的情况下，数值计算的结果应当与完整的级数解相同，可以认为是方程的精确解。从图中可以看出，在上游泥沙补给增加的情况下河床持续抬升，起初淤积主要发生在进口附近的河段，随着时间的增加淤积范围逐渐向下游扩展，同时淤积速度也逐渐减缓，在t=3年时河床已经基本达到新的平衡状态。整体而言，一阶近似解与数值计算的结果非常接近，尤其是在较长的时间尺度上两者几乎完全重合。而在上游扰动发生的初始阶段(t=0.1年)，一阶近似解与数值结果之间有所偏差。这表明，在较短的时间尺度上级数解的收敛速度较慢，仅取一阶近似会存在一定的误差，Gill(1983a,b)建议此时采用误差函数形式的解以保证较好的收敛效果(Gill,1983a,b)。而对于本文关注的中长期河床演变，一阶近似的级数解能够保证足够的计算精度，从而说明具有类似形式的滞后响应模型在处理相关河床演变问题时具有一定的物理基础。

在本文中我们仅讨论了Exner方程的分离变量解，有关该问题的其他求解方法及其在河床演变中的应用，Gill(1983a,b)曾给出较为详细的总结。由于本文着眼于寻求Exner方程与滞后响应模型之间的联系，并讨论滞后响应模型的理论基础，因此对Exner方程其他的求解方法在此不再一一赘述。

4　结论

本文对河床演变的泥沙守恒方程(Exner方程)在简化的封闭模式下进行解析求解，利用分离变量法得到了方程的级数解，并对其进行了一阶近似。对比发现Exner方程的一阶近似解和描述河床演变的滞后响应模型具有相似的公式形式，即河床受到外部扰动之后其床面高程随时间的变化都表现为指数衰减的形式，并最终趋向于新的平衡。通过理想算例的计算表明，Exner方程的一阶近似解能够达到较高的精度，尤其是在中长期的时间尺度上与精确解几乎完全相等，这一发现有助于为滞后响应模型在中长期河床演变中的应用提供相应的理论基础。作为有关Exner方程和滞后响应模型之间关联的初步探索，本文的工作仍有待进一步的研究以获得更为完善的结论。

参考文献：

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[12]　钱宁，万兆惠.泥沙运动力学[M].北京：科学出版社，1983.

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[14]　吴保生.冲积河流河床演变的滞后响应模型-Ⅱ模型应用[J].泥沙研究，2008b，6:30-37.

[15]　郑珊，吴保生，李凌云.图特河北汊对圣海伦斯火山爆发响应过程的模拟[J].水利学报，2013，44(10):1239-1248.

From the Exner Equation to the Delayed Response Model

AN Chenge，SONG Yuntian,FU Xudong

(State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering,Tsinghua University,Beijing　100084)

Abstract:As an empirical method,the delayed response model has been widely implemented to study river evolution under external disturbances.In this paper,we study a simple form of the Exner equation and obtain its analytical series solution.We find that the delayed response model and the first-order approximate solution of the Exner equation have very similar formulations:both of them show that the evolution of bed elevation decays exponentially with time,until approaching an equilibrium state.In the ideal cases,the first-order approximate solution gives reasonable results,especially in mid-and long-term scales,thus indicating the physical basis of delayed response model when applied for mid-and long-term river evolution.

Key words:Exner Equation;Delayed Response Model;First-order Analytical Solution;Mid and Long-term River Evolution