2.4 地下水运动的基本规律_地下水利用-QQ阅读女频古言网

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2.4　地下水运动的基本规律

地下水存在于岩石的孔隙、裂隙和溶洞中，并在其中运动。我们把赋存地下水的孔隙岩石称为多孔介质，赋存地下水的裂隙岩石称为裂隙介质。地下水在多孔介质和裂隙介质中的运动称为渗流。地下水有吸着水、薄膜水、毛管水和重力水等形式。吸着水、薄膜水是不参与渗流运动的，毛管水的运动属于专门研究的课题。这里只讨论重力水在多孔介质和裂隙介质中的运动。地下水运动的基本要素（如水位、流速、流向等）的大小和方向不随时间而变化的地下水运动称为地下水的稳定运动。如果地下水运动的基本要素中的任一个或者全部要素随时间而变化，则称为地下水的非稳定运动。在自然界的不同条件下，地下水的运动性质有很大的差别。我们把地下水的流束（流层）互不混杂的流动称为层流运动。将地下水的流束（流层）相互混杂而无规则的运动称为紊流运动。地下水缓慢运动时，做层流运动。当流速逐渐加大到一定程度时，就转化为紊流运动。

2.4.1　地下水运动的基本定律

2.4.1.1　达西定律（线性渗透定律）及其适用范围

1852—1855年，法国水力学家达西（Darcy）通过大量的试验，发现渗透速度与水力坡度的一次方成正比，为线性关系，其表达式为在实际的地下水流中，由于水力坡度各处不同，可以把达西定律写成更一般的形式

渗透速度矢量沿3个坐标轴的分量分别为

公式中的渗透系数K是表示岩石透水性大小的水文地质参数。数值上等于水力坡度为1时的渗透速度，具有速度的量纲。渗透系数的数值，既取决于含水层的性质，也取决于渗透液体的物理性质。

达西定律有一定的适用范围，超出这个范围，地下水的渗流就不符合达西定律了。如果用雷诺数表示达西定律的适用范围的话，可归纳如下：

（1）存在一个临界雷诺数Re临，该值在1～10之间Re＜Re临，即低雷诺数时，属低速流，这时有一个黏滞力（忽略惯性力）占优势的层流区域，该区域内达西定律是适用的。上述Re临就是达西定律成立的上限。同时说明，服从达西定律的Re临比地下水由层流转变为紊流时的雷诺数要小，也即达西定律的适用范围比层流运动范围要小。

（2）当Re临＜20～60时，出现一个过渡带，从黏滞力占优势的层流运动过渡到非线性的层流运动。该带当渗透速度增大后，惯性力也逐渐增大，当惯性力接近摩擦阻力的数量级时，由于惯性力与速度的平方成正比，从而使渗透速度与水力梯度的关系就不再呈线性关系，也即偏离了达西定律。

（3）高雷诺数时则为紊流，此时达西定律的使用就失效了。

2.4.1.2　非线性渗透定律

在紊流运动条件下，地下水的渗透服从谢才（A.Chezy）公式

其余符号的意义同前。

式（2.6）和式（2.7）表明，在紊流运动时，地下水的渗透速度与水力坡度的1/2次方成正比。

只是在少数情况下，如地下水在大裂隙或大溶洞中的运动，才服从上述非线性渗透定律。水力坡度很大时，在孔隙介质中也可以出现紊流运动的情况。

2.4.2　地下水运动的基本方程

2.4.2.1　渗流的连续性方程

图2.20　渗流区域中的单元体

设在充满液体的渗流区域内取一无限小的平行六面体，其各边长度为Δx、Δy、Δz，并且和坐标轴平行。如沿坐标轴方向的渗透速度分量为vx、vy、vz，液体的密度为ρ（图2.20）。

在Δt时间内流入六面体左边界面的液体质量为

ρQxΔt＝ρvxΔxΔyΔt

而从六面体右边界面流出的液体质量为

亦即

沿x轴方向流入六面体和流出六面体的液体质量差为

同理，可以写出沿y轴方向和z轴方向流入六面体和流出六面体的液体质量差分别为

和

因此，在Δt时间内，流入和流出平行六面体的总质量差为

在平行六面体内，液体所占的体积为nΔxΔyΔz。其中n为孔隙度。因此，平行六面体内液体的质量为ρnΔxΔyΔz。在Δt时间内，平行六面体内液体质量的变化为

平行六面体内液体质量的变化（即贮存量的变化），是由于液体流入平行六面体和流出平行六面体的液体质量差造成的。根据质量守恒定律，两者在数值上应该相等。所以

式（2.8）称为渗流的连续性方程式。

如果把地下水当做不可压缩的均质液体，地下水的密度ρ为常数，同时假设流入和流出平行六面体的液体总质量差等于零。因此有

式（2.9）即为稳定流情况下渗流的连续性方程。它实质上表明在稳定流条件下同一时间内流入的水量和流出的水量是相等的。

2.4.2.2　承压水非稳定运动的基本微分方程

所谓地下水的非稳定运动是指地下水运动要素随时间而变化的运动。这主要是由于天然因素或人为因素的影响，引起地下水补给、径流、排泄条件的变化而造成的，如含水层补给面积上大气降水的不均匀渗入、潜水的不均匀蒸发与地下水有水力联系的地表水体的水位变化、水井抽水、矿坑排水等等。因此，实际上自然界地下水的状况总是在不断地变化着。地下水的运动总是不稳定的。如果变化不大，在某些情况下，也可近似地把它作为稳定运动来考虑，以简化计算。

根据渗流的连续性原理，Δt时间内，流入各边长度为Δx，Δy，Δz的平行六面体（图2.20）的水量为

QxΔt＋QyΔt＋QzΔt

在Δt时间内，流出此六面体的水量则为

因此，Δt时间内此六面体内水量的变化为

由于我们所研究的是承压含水层，从隔水顶板上部不可能获得补给。所以，六面体内水量的变化必然引起贮存的变化。在Δt时间内，由于贮存的变化引起的小土体内水体积的增量，根据贮水率的定义应为

显然，它们是相等的，即

根据达西定律，矢量渗透速度v沿坐标轴x，y，z的分量Δx，Δy，Δz分别为

于是Qy，Qz也可分写类似的表达式，于是可得

化简后得

对于均质各向同性的含水层来说，可进一步化简为

为了计算方便，我们引入一个参数——导水系数T。导水系数表示水力坡度J＝1时，通过整个含水层厚度的单宽流量，量纲［L2 T－1］，通常用m2/d做单位。在非均质含水层中T是坐标的函数，因地而异。导水系数T和贮水系数S都是含水层的重要水文地质参数，在水文地质计算中有重要的意义。

把T和S代入式（2.12）和式（2.13）中得

和

式（2.15）在二维情况下还可写成下列形式

这几个方程为承压水非稳定运动的基本微分方程。

如果化为柱坐标，则式（2.16）变为

有些文献中，a通常称为压力传导系数（导压系数），量纲为［L2 T－1］，于是式（2.16）有下列形式

2.4.2.3　潜水非稳定运动的基本微分方程

潜水含水层和承压水含水层不同，它的上部没有隔水顶板，因此在推导微分方程时，应当考虑上部的入渗补给。

布西涅斯克（J.Boussinesq）在研究潜水的非稳定运动时，假定水是不可以压缩的流体，均质岩层中的潜水是缓变运动，导出了非稳定运动的微分方程式。

先考虑平面问题。取平行于xoz平面的单位宽度进行研究。

图2.21　潜水非稳定流运动

在渗流场内取出一块土体（图2.21）。它的上界面为潜水面，下界面为隔水层，前后左右为两个相距为d x的垂直断面。引起该小土体内水量变化的因素为：

（1）大气降水的入渗补给或潜水蒸发ε（入渗时取正值，蒸发时取负值）。

（2）从上游断面流入的水量q。

（3）从下游断面流出的水量q＋d q。

在d t时间内，从上游断面流入的水量为q＝vx h d t，从下游断面流出的水量为

d t时间内，从上部入渗的补给量为εd x d t。

因此，在d t时间内，在小土体中水量的增量为

由于认为水是不可压缩的流体，小土体内的水量增加必然会引起潜水面的上升，水量减少则会引起潜水面的下降。设潜水面变化的速率在d t时间内潜水面的升高（或降低）潜水面的变化而引起的小土体内水体积的增量为

式中μ当潜水面上升时为饱和差，下降时为给水度。

显然，这两个增量应当是相等的，即

将vx＝

代入上式，得

经整理后得

式（2.22）即为潜水在平面运动情况下的布西涅斯克方程。

潜水在空间运动的情况下，可以用类似的方法导出布西涅斯克方程，其表达式如下

当隔水底板水平时，布西涅斯克方程有如下形式：

在平面运动的情况下为

在空间运动的情况下为

对于非均质含水层，渗透系数是坐标的函数，即K＝f（x，y）。此时，布西涅斯克方程有如下的形式

布西涅斯克方程是研究潜水非稳定运动的基本微分方程，它是一个二阶的非线性偏微分方程。除了对某些个别情况找到几个特解以外，这个方程现在还没有精确的解析解。为了解布西涅斯克方程，通常采用近似方法把这个非线性方程转换为线性方程，然后求解。这种方法叫做线性化。有关布西涅斯克方程线性化的方法读者可以参阅有关专门文献。但目前广泛采用的是用数值法（有限差分法和有限单元法）来求近似解。

把式（2.26）和式（2.17）加以比较，式（2.17）中少一项ε。但式（2.17）是在垂直方向没有水量交换的情况下导出的，所以没有这一项ε。如果像式（2.26）那样，垂直方向有水量交换，设单位时间、单位面积上垂直方向补给含水层的水量为ε（流出为负），则在建立方程时根据水量平衡的原则，和式（2.26）一样，在方程式的左端要加一项ε，变为