4.3 多自由度系统动力学

4.3.1 动力学方程

有限元分析中的结构均为多自由度系统，OptiStruct预处理模型后，生成的是矩阵形式的质量矩阵M、阻尼矩阵C及刚度矩阵K。前述的一些振动相关概念，包括固有频率、频率比、动力放大系数、各类阻尼等，在多自由度系统中具有相同的含义。

多自由度系统的时域动力学方程为

对应的频域动力学方程为

式中，u={u_i｜i=1，2，…}为位移列向量，f={f_i｜i=1，2，…}为外激励列向量。

在单自由度系统的基础上，多自由度系统增加了“模态”的概念。所谓模态，可以理解为结构在发生动力学运动时出现的整体协同运动模式。它具备整体性、模式性、协同性、独立性几个特点。整体结构的所有自由度是相互关联的，且有固定的运动模式。各个运动模式之间既具备独立的运动特征，又通过相互协调作用来满足外激励及初始条件。

引入模态振型列向量φ_i及对应的模态坐标q_i，可以将多自由度系统的位移向量u变换到模态坐标q_i。

关于模态振型向量φ_i的具体推导过程将在下一章介绍。在模态空间中，动力学方程变为

式中，q_i为模态坐标；为模态质量；为模态阻尼；为模态刚度；为模态外激励。

式（4-17）与式（4-18）为实模态解耦的动力学方程，与单自由度系统的动力学方程式（4-3）与式（4-6）是完全一致的。因此，每个模态坐标q_i即为一个单自由度系统，具有各自的固有频率、阻尼比、动力放大系数等动力学特性参数。

4.3.2 边界条件SPC/SPCD

动力学分析中外激励不仅有直接的外力作用，还有强迫位移、强迫速度、强迫加速度形式的激励，有时也称作基础激励，采用SPC/SPCD定义。在这些动力学边界条件/基础激励的作用下，有限元模型的整体质量矩阵M、整体阻尼矩阵C及整体刚度矩阵K发生了改变，并产生了等效的外激励载荷。

有限元模型中包含SPC/SPCD边界条件时，动力学方程按边界自由度进行分块。时域动力学方程为

频域动力学方程为

式中，下标a表示analysis，u_a为分析自由度集；b表示boundary，u_b为边界自由度集；f_a为非约束边界上的外载荷；f_b为边界约束边界上的外载荷。f_b在OptiStruct中通常被称为约束反力，用SPCF （ Single Point Constraint Force）表示。

求解有限元动力学问题时，式（4-19）、式（4-20）的第2行将被消去，

式中，为强迫位移引发的内力载荷 （边界自由度b对分析自由度a）。

因此，SPC/SPCD的边界约束减少了运动系统的自由度，缩减后的整体质量矩阵M=M_aa，整体阻尼矩阵C=C_aa，整体刚度矩阵K=K_aa。同时，外载荷f变为两部分，即原外力载荷f_a，以及约束边界的内力载荷。

为便于说明，不论是动力学约束边界还是直接的外力作用，在后续动力学章节中将统称为外激励而不严格区分。而表达式中的质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K，一般指代预处理SPC/SPCD完毕后，有限元模型仅包含分析自由度的情况。