1.2.2　线性组合

在一个向量空间中，会有无数个向量，但是，这些向量之间不是毫无关联的，下面以图1-2-2所示的二维空间中的几个向量为例，探讨向量空间中的线性组合问题。

图1-2-2

设二维向量空间中有向量，不难发现如下几项关系：

●　，即

●　，即

●　，即

●　

在以上所列关系式中，只用到了向量空间中所定义的数量乘法、向量加法或者它们的综合，就可以把某个向量用其他若干个向量表示，我们称这个表达式为那些向量的线性组合，严格定义如下：

定义　设是中有限个向量，称为一个向量组，则：

是向量组的一个线性组合（Linear Combination），其中是标量，称为系数（Coefficient）。

在线性代数中，总离不开线性方程组，虽然到目前为止，我们还没有像常规教材那样求解线性方程组，但还是要借助它换个角度来理解线性组合。

（1.2.1）

在这个方程组中，只有加法和乘法（减法可以看成是加法和乘法的综合，例如，即为）。注意，（1.2.1）式的写法中并没有体现出向量的加法和数量乘法，而都是标量间的计算。我们可以将其改写为：

（1.2.2）

等号左边显然是一个线性组合。

如果，则毫无疑问，上式成立，称这个解为原方程组的零解。是不是应该有非零解呢？但是，这里暂时不研究这个方程组的非零解，而是认真观察等号左边的线性组合，是不是发现两个有特殊关系的向量：和，这两个向量之间具有倍数关系，乘以2等于。这是一个石破天惊的重大发现。