第二节　平面力偶系

一、力对点的矩

如图2-6所示,在力F所在的平面内,力F对平面内任意点O的矩定义为:力F的大小与矩心点O到力F的作用线的距离h的乘积,它是代数量。其符号规定:力使物体绕矩心逆时针转动时为正,顺时针为负。h称为力臂,用MO(F)表示,即

单位:N·m或kN·m。

特殊情况:

(1)当MO(F)=0时,力的作用线通过矩心,力臂h=0,或F=0。

(2)当力臂h为常量时,MO(F)值为常数,即力F沿其作用线滑动,对同一点的矩为常数。

应当指出,力对点之矩与矩心的位置有关,计算力对点的矩时应指出矩心点。

合力矩定理:平面汇交力系的合力对力系所在平面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和,即

根据此定理,有时可以给力矩的计算带来较大的方便。如图2-7所示将力F沿坐标分解得分力Fx、Fy,则力对O点之矩解析表达式

二、平面力偶理论

力偶是由一对等值、反向、不共线的平行力组成的特殊力系。它对物体的作用效果是使物体转动。为了度量力偶使物体转动的效果,可以考虑力偶中的两个力对物体内某点的矩的代数和,这就引出了力偶矩的概念。

力偶中的两个力对其作用面内某点的矩的代数和,称为该力偶的力偶矩,记为M(F,F')简记为M。

图2-8中,力F与F'组成一个力偶,两力之间的距离d称为力偶臂。在力偶作用面内任选一点O,设点O到力F'的距离为a,按定义,该力偶的力偶矩M(F,F')为

由上述计算知,力偶矩与点O的位置无关,即力偶对平面内任意一点的矩都等于力与力偶臂的乘积,并按逆时针为正,反之为负的原则冠以正负号。

力偶矩与矩心位置无关,这是力偶矩区别于力对点的矩的一个重要特性。正是由于这一点,写力偶矩时不必写明矩心,只写作M(F,F')或M即可,于是有

力偶中两个力在任意轴上的投影的代数和都为零,这也是力偶所特有的性质。

由此还可推知:力偶不能与单个力等效,也不能与单个力相平衡,因此力和力偶是力系中的两个基本要素。

根据力偶的特性,可以得到一个重要的结论,即同平面内力偶的等效定理:

同一平面内的两个力偶等效的唯一条件是其力偶矩相等。

该结论等价于下列事实:

(1)力偶矩是力偶作用效果的唯一度量。

(2)在力偶矩不变的前提下,可以在作用面内任意移动和转动力偶。

(3)在力偶矩不变的前提下,可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短。

以上结论证明从略,下面将运用这些结论来讨论平面力偶系的简化问题。

设平面力偶系由n个力偶组成,其力偶矩分别为M1、M2、…、Mn。现在想用一个最简单的力系来等效替换原力偶系,为此采取下述步骤(为方便起见,不失一般性,取n=2,如图2-9所示):

(1)保持各力偶矩不变,同时调整其力与力偶臂,使它们有共同的臂长d,则有

这是调整后各力的大小。

(2)将各力偶在平面内移动和转动,使各对力的作用线分别共线。

(3)求各共线力系的代数和。每个共线力系得一合力,而这两个合力等值、反向,相距为d构成一个合力偶,其力偶矩为

即,平面力偶系可以用一个力偶等效代替,其力偶矩为原来各力偶矩之代数和。

由于力偶矩是力偶作用效果的唯一度量,故以后图示力偶时,也可用如图2-10所示的简化记号。

三、平面力偶系的平衡

在图2-9所示的平面力偶系中,若FR==0,则该力偶系平衡,合力偶矩等于零。反之,若已知合力偶矩等于零,即FR=0,或力偶臂d=0,力偶系都平衡。推广到n个力偶组成的平面力偶系,上述分析同样成立。于是得到平面力偶系平衡的必要充分条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即

式(2-16)称为平面力偶系的平衡方程,利用它可以求解一个未知量。

【例2-3】　图2-11(a)所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶,其力偶矩为M1=2kN·m,OA=r=0.5m。图示位置时OA与OB垂直,α=30°,且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩M2及铰链O、B处的约束反力。

解:先取圆轮为研究对象,其上受有矩为M1的力偶及光滑导槽对销子A的作用力FA和铰链O处约束反力FO的作用。由于力偶必须由力偶来平衡,因而FO与FA必定组成一力偶,力偶矩方向与M1相反,由此定出FA指向如图2-11(b)。而FO与FA等值且反向。由力偶平衡条件

解得

再以摇杆BC为研究对象,其上作用有矩为M2的力偶及力与FB,如图2-11(c)所示。同理与FB必组成力偶,由平衡条件

其中=FA。将式(a)代入式(b),得

FO与FA组成力偶,FB与组成力偶,则有

方向如图2-11(b)、(c)所示。