第三节　平面任意力系

研究平面任意力系的简化问题,就是要用一个最简单的力系,等效替换给定的一般的平面力系。作为准备,先给出力的平移定理,它是力系简化的工具。

一、力的平移定理

作用在刚体上A点处的力F,可以平移到刚体内任一点B,但必须同时附加一个力偶,其力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。这就是力的平移定理。

证明:如图2-12所示,在刚体上A点作用着力F,在刚体上任选一点B,由加减平衡力系原理,在B点加上一对平衡力F'和-F″,并令F=F'=-F″,则F和F″构成一个力偶,其矩为

于是作用在A点的力F就由作用在B点的力F'=F及附加力偶M等效地代替了,证毕。

此定理的逆过程为作用在刚体上一点的一个力和一个力偶可以和一个力等效,此力为原来力系的合力。

二、平面任意力系向作用面内一点简化

设刚体上作用的n个力F1、F2、…、Fn组成平面任意力系,如图2-13(a)所示,在力系所在平面内任取点O作为简化中心,由力的平移定理将力系中各力矢量向O点平移,如图2-13(b)所示,得到作用于简化中心O点的平面汇交力系和附加平面力偶系,其矩为M1、M2、…、Mn。

平面汇交力系可以合成为力的作用线通过简化中心O的一个力此力称为原来力系的主矢,即主矢等于力系中各力的矢量和。有

平面力偶系M1、M2、…、Mn可以合成一个力偶,其矩为MO,此力偶矩称为原来力系的主矩,即主矩等于力系中各力矢量对简化中心的矩的代数和。有

结论:平面任意力系向力系所在平面内任意点简化,得到一个力和一个力偶,如图2-13(c)所示,此力称为原来力系的主矢,与简化中心的位置无关;此力偶矩称为原来力系的主矩,与简化中心的位置有关。因此在提到主矩时必须指明简化中心。

力系主矢的计算,可以根据力在轴上的投影及合力投影定理,直接由原始力系得出。即选定直角坐标系Oxy,计算出各力在两轴上的投影,再根据合力投影定理得到主矢在两轴上的投影,最后求得主矢的大小和方向为

主矩的解析表达式为

作为平面任意力系简化的应用,在此介绍一种常用的约束——固定端(插入端)约束。它是使被约束体插入约束体内部,被约束体一端与约束成为一体而完全固定,既不能移动也不能转动的一种约束形式。

工程中固定端约束是一种常见的约束。例如夹紧在刀架上的车刀,与刀架完全固定成为一体。车刀受到的约束就是固定端约束,如图2-14(a)所示。

又如物体的一端自由,另一端插入墙壁,它所受到的约束也是固定端约束。这种物体称为悬臂梁,如图2-14(b)所示。

固定端约束的约束反力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个分布力系。当外力为平面力系时,约束反力构成的这个分布力系也是平面力系。由于其中各个力的大小与方向均难以确定,因而可将该力系向A点简化,得到的主矢用一对正交分力FAx和FAy表示,而将主矩用一个反力偶矩MA表示,这就是固定端的约束反力,如图2-15所示。

特别需要指出的是:固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链约束是有本质区别的,从约束效果上看,固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动,而平面铰链约束则只限制被约束体移动,并不限制其转动;从约束反力的表示方法上看,固定端约束除与铰链约束一样,用一对正交分力表示约束反力的主矢之外,还必须加上一个约束反力偶,正是这个反力偶起着限制转动的作用。

三、平面任意力系简化结果讨论

平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩,进一步分析可能出现以下四种情况:

(1)MO≠0。

(2)MO=0。

(3)MO≠0。

(4)MO=0。

分别讨论这些情况,可以得到力系简化的最终结果和一些有用的结论。

(1)MO≠0:说明该力系无主矢,而最终简化为一个力偶,其力偶矩就等于力系的主矩。值得指出的是:当力系简化为一个力偶时,主矩将与简化中心的选取无关。

(2)MO=0:说明原力系的简化结果是一个力,而且这个力的作用线恰好通过简化中心O点,这个力就是原力系的合力。在这种情况下,记以将它与一般力系的主矢相区别。

(3)MO≠0:这种情况还可以进一步简化。由力系平移定理知:与MO可以由一个力FR等效替换,这个力FR=但其作用线不通过简化中心O。若设合力作用线到简化中心O的距离为d,则

图2-16可说明上述简化过程,其中O'为合力FR的作用点。

另外由图2-16(b)及证明过程知

于是得合力矩定理:平面任意力系的合力对力系所在平面内任意点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。

(4)MO=0:说明该力系对刚体总的作用效果为零。根据牛顿惯性定理知,此时物体将处于静止或匀速直线运动状态,即物体处于平衡状态。

【例2-4】　重力坝受力如图2-17所示,设P1=450kN,P2=200kN,F1=300kN,F2=70kN。求力系的合力FR的大小和方向余弦、合力与基线OA的交点到点O的距离x,以及合力作用线方程。

解:(1)先将力系向点O简化,求得其主矢和主矩MO[图2-17(b)]。由图2-17(a)有

主矢在x、y轴上的投影为

主矢大小为

主矢的方向余弦为

则有

故主矢在第四象限内,与x轴的夹角为-70.84°。

力系对点O的主矩为

(2)合力FR的大小和方向与主矢F'R相同。其作用线位置的x值可根据合力矩定理求得[图2-17(c)],即

其中

故

解得

(3)设合力作用线上任一点的坐标为(x,y),将合力作用于此点,则合力为FR对坐标原点的矩的解析表达式为

将已求得的MO、∑Fx、∑Fy的代数值代入上式,得合力作用线方程为

四、平面任意力系的平衡条件和平衡方程

平面任意力系平衡的必要与充分条件:力系的主矢和对任意点的主矩均等于零。即

由式(2-18)和式(2-20)得

可简写成

方程(2-22)就是平面任意力系平衡方程式的基本形式,它由两个投影式和一个力矩式组成,即平面任意力系平衡的充分和必要条件是各力在作用面内一对直角坐标轴上的投影之代数和以及各力对作用面内任意点O的矩的代数和同时为零。式(2-22)是三个独立方程,最多只能解三个未知力。

用解析表达式表示平衡条件的方式不是唯一的。平衡方程式的形式还有二矩式和三矩式两种。

二矩式方程为

其中,x轴(y轴)不能与A、B连线垂直。

方程式(2-23)也完全表达了力系的平衡条件:由∑MA=0知,该力系不能与力偶等效,只能简化为一个作用线过矩心A的合力,或者平衡;又由∑MB=0知,若该力系有合力,则合力作用线必通过A、B两点;最后由∑Fx=0知,若有合力,则它必垂直于x轴;而根据限制条件,A、B连线不垂直于x轴,故该力系不可能简化为一个合力,从而证明了所研究的力系必定为平衡力系,如图2-18所示。

三矩式方程为

其中,A、B、C三点不共线。

由∑MA=0,∑MB=0知,该力系只可能有作用线过A、B两点的合力或是平衡力系;而由∑MC=0且C点不在A、B连线上知:该力系无合力,为平衡力系,如图2-19所示。

总之,平面任意力系共有三种形式的平衡方程,但求解时应根据具体问题而定,只能选择其中的一种形式,且列三个平衡方程,最多只能求解三个未知力。若列第四个方程,它是不独立的,是前三个方程的线性组合;同时,在求解时应尽可能地使一个方程含有一个未知力,避免联立求解,这一点学习时应多作练习。

五、平面平行力系的平衡

平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情况,因此,它的平衡方程可以从平面任意力系的平衡方程导出。

如图2-20所示,设物体受平面平行力系作用,如果选取x轴与各个力垂直,则无论力系是否平衡,每一个力在x轴上的投影均为零,有恒等式∑Fx≡0,于是,独立的平衡方程只有两个,即

平面平行力系的平衡方程也可用二矩式表示,即

附加条件是A、B两点连线不得与各力平行。

【例2-5】　外伸梁AB受均布荷载和集中力作用,如图2-21(a)所示。已知P=30kN,q=2kN/m,求支座的约束反力。

解:取梁AB为研究对象。由于均布荷载、集中力和FB互相平行,因此FA必与各力平行,力系才能够组成平衡力系,如图2-21(b)所示。由平面平行力系的平衡方程

解得

负号表示A处反力FA的实际方向与假设方向相反,应指向下。

【例2-6】　塔式起重机如图2-22所示。其中机身重心位于C处,自重P1=800kN。起吊重力P2=300kN的重物,几何尺寸如图2-22所示,其中a=5m,b=3m,l=8m,e=1m。试求:

(1)为使起重机满载和空载时都不致翻倒,平衡配重P3应取何值?

(2)若取P3=500kN,则满载时导轨A和B所受压力各为多少?

解:取整个起重机为研究对象,进行受力分析后得知,这是一个平面平行力系的问题。为使起重机不翻倒而始终处于平衡状态,主动力P1、P2、P3和约束力FA、FB必须满足平衡条件,即满足平面平行力系的平衡方程式(2-25)。

(1)为使起重机不翻倒,应分别考虑满载和空载时起重机处于极限平衡状态的情况。

满载时,机身处于可能绕B点转动而翻倒的极限平衡状态。此时应有A支座处的约束反力FA=0,即A轮与地面将要脱离接触。这时求出的平衡配重应为最小值,记为P3min。

应用平衡方程式(2-25),可求得此时的FB及P3min,但据题意只求P3min,故只需列方程∑MB=0,即可求得P3min,而不必去求FB。

由∑MB=0得

空载时,起重机可能绕A点向左翻倒。在这种极限平衡状态下,有B支座处约束反力FB=0,由此可求得平衡配重的最大值P3max。

由∑MA=0得

于是为使起重机不致翻倒,平衡配重P3应满足

(2)由题意知,P3=500kN,根据前面的计算,起重机可以保持平衡,为求FA和FB,利用方程(2-25),以铅垂轴y为投影轴,并以A为矩心,于是有

可解得

顺便指出,本题(2)中亦可由方程式∑MA=0,∑MB=0求出FA和FB。